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양자역학의 기초적인 이론과 컨셉 - 목차 [catlist tags="양자역학-기초-시리즈" class=nomarker date=yes order=asc] 지난 시간에는 파동함수와 슈뢰딩거 방정식에 대해 다루었다. 파동함수는 입자가 특정 위치에 존재할 확률에 대한 확률밀도함수와 밀접한 연관성이 있으며, 주어진 포텐셜에너지 하에서 파동함수를 구하는 방정식이 다음과 같은 슈뢰딩거 방정식이라는 것을 배웠다. $latex i\hbar\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2} + V(x)\Psi(x,t) &s=2$ (식 1) 이번에는 이러한 파동함수가 위치와 운동량, 더 나아가서 일반적인 물리량과 어떠한 연관성이 있는지 살펴 보려고 한다. 위치 고전역학이라면 우리는 입자의 위치를 하나로 특정할 수 있다. 지금 이 순간에 이 입자는 딱 '이 위치'에 있는 것이고, 저 입자는 딱 '저 위치'에 있는 것이다. 전혀 논란의 여지가 없이 정확하게 입자의 위치를 공간상에서 찝을 수 있다. 그러나 양자역학에서는 어떤가? 저번 시간에 보았듯이, 양자역학에서는 입자의 위치를 정확하게 알 수 없다. 단순히 입자가 특정 위치에 존재할 확률만을 알 수 있을 뿐이다. 따라서 양자역학에서는 입자의 '위치'가 아니라 입자의 '위치 기댓값(expectation value) '를 다룬다. 고등학교 수준의 통계학을 배운 사람이라면 알겠지만, 기댓값이란 어떠한 시행을 했을 때 '평균적으로 기대할 수 있는 결과'를 의미한다. 예를 들어서, 1부터 6까지 적혀 있는 주사위를 던졌을 때 나오는 눈금 수의 기댓값은 3.5이다. 이는 주사위를 수없이 많이 던졌을 때 각각의 시행에서 나온 값을 전부 평균내면 3.5에 매우 가깝다는 것을 의미한다. 양자역학에서도 마찬가지이다. 위치를 비롯한...

양자역학의 기초적인 이론과 컨셉 - 목차 [catlist tags="양자역학-기초-시리즈" class=nomarker date=yes order=asc] 우리에게 익숙한 고전역학에서 한 입자의 상태를 나타내려면 무엇이 필요할까? 일단 3차원 좌표 $latex x, y, z$가 있을 것이다. 조금만 더 생각해보면 속도 [latex]\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}[/latex]도 입자의 상태를 기술하는데 필수적이라는 사실을 알 수 있다.[1. 변량 위에 점(.)을 찍으면 그 변량의 시간에 대한 미분을 의미한다.] 입자가 지나가는 점들의 좌표 세 성분과 각 점들에서의 속도 세 성분을 안다면 그 입자의 상태를 완벽하게 기술할 수 있게 된다. 자, 이제 양자역학의 눈으로는 이러한 생각이 어떻게 달라질지 살펴보자. 파동함수와 슈뢰딩거 방정식 양자역학에서는 한 입자의 상태를 위치나 속도와 같은 개념이 아닌 파동함수(wave function) 라는 괴이한 도구를 이용해 나타낸다. 파동함수는 보통 [latex]\Psi(x,t)[/latex]로 표기되며, 표기에서 알 수 있듯이 위치 [latex]x[/latex]와 시간 [latex]t[/latex]에 대한 함수이다. (일단 1차원 공간에서만 생각하자. 3차원으로의 확장은 한참 뒤에 할 것이다.) 그리고 이 파동함수라는 정체모를 물건은 다음과 같은 식을 만족한다. $latex i\hbar\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2} {2m}\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2} + V(x)\Psi(x,t) &s=2$ (슈뢰딩거 방정식) 이 식이 바로 그 유명한 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger's equation) 이다. 매우 복잡해 보인다. 여기에서 $latex \hbar $는 플랑크 상수 [2. $latex h $와는 다르다 $latex h $와는! $latex \hbar = \frac{h}...

양자역학의 기초적인 이론과 컨셉 - 목차 [catlist tags="양자역학-기초-시리즈" class=nomarker date=yes order=asc] 양자역학은 현대 물리학의 근간을 이루는 매우 중요한 학문이다. 그리고 동시에 매우 흥미롭기도 해서, 많은 비전공자나 청소년들도 관심을 가지고 찾아보는 분야이기도 하다. 빛은 에너지이면서 입자이고, 입자의 위치를 파동함수라는 도구를 이용해 확률로 나타내고, 위치와 운동량은 동시에 정확히 결정될 수 없고, 전자가 벽을 뚫고 나가고... 이러한 신비로운 양자역학의 결론들은 양자역학의 이론적인 내용을 잘 몰라도 듣는 것만으로도 신기하고 흥미롭다. 그래서 대중들을 위한 양자역학 관련 교양 서적이 많이 나와 있기도 하다. [caption id="attachment_1764" align="aligncenter" width="200"] 예를 들어 뉴턴 하이라이트라든지[/caption] 시리즈의 대상 이 시리즈는 양자역학 교양 서적과는 다르게 양자역학에 대해 교양이나 고등학교 수준의 지식을 가지고 있는 사람들을 대상으로 한다. 그렇다고 해서 처음부터 어렵게 나가겠다는 얘기는 아니고[1. 어차피 내가 그 정도의 지식이 없다ㅋㅋ] 미시 세계의 물리학이 얼마나 환상적인지, 현대 문명이 어떻게 쓰이는지 등등의 교양 서적에 나올만한 '흥미를 돋구기 위한' 내용을 쓰지 않겠다는 얘기이다. 대신에 좀더 형식적인 수학을 도입해서 본격적인 양자역학 이론을[2. 그래봤자 학부 수준의 기초적인 내용이지만] 설명하고, 그 과정에서 독자들이 자연스럽게 흥미를 느끼게 할 계획이다. [caption id="attachment_1765" align="aligncenter" width="470"] '약간'의 형식적인 수학[/caption] 시리즈의 목적과 내용 이 시리즈의 목적은 일차적으로는 내가 1...