슈뢰딩거 방정식의 고전역학적 근사에서 발견한 신기한 사실

요즘 양자물리 수업에서 WKB 근사법 부분을 나가고 있는데, 최근에 정말 신기한 사실을 배웠다. 슈뢰딩거 방정식을 고전역학의 영역에서[1. 정확히는 포텐셜에너지가 파동함수의 파장보다 매우 느리게 변할 때] 근사하면 두 식이 튀어나온다. 그 중 하나는 '확률밀도의 continuity equation'으로, 확률밀도를 마치 물질의 밀도처럼 생각했을 때의 continuity equation에 해당한다! 유체역학에서 배운 방정식이 왜 갑자기 양자역학에서 튀어나오는지, 정말 황당할 따름이다. 이 사실만으로도 충분히 신기한데, 다른 한 식은 더 쩐다.

다른 한 방정식은 Hamilton-Jacobi equation이며, 이는 뉴턴역학과 동치이다. 이 방정식은 Hamilton 원리의 action에 관한 식이다.[2. 대충 쓰면 계가 변화하는 경로는 action을 최소화하는 방향을 따른다는 것이 Hamilton 원리이다. 여기서 action은 보존장만 작용하는 계의 경우에는 운동에너지와 포텐셜에너지의 차(Lagrangian)의 적분으로 정의된다. Hamilton의 원리는 Lagrange 역학, Hamiltonian 역학 등의 바탕이 된다.] 그런데 이 action이 바로 복소평면 위에서 파동함수의 각성분과 일치한다![3. 정확히는 파동함수 각성분에 $latex \hbar $를 곱한 값과 일치한다.] 즉, 파동함수를 복소평면 위에 크기와 방향을 갖는 양으로 표현할 수 있는데, 이 때 '방향'이 action과 밀접한 연관성을 가지고 있다는 것이다. 정말 믿을 수 없는 결과였다. 정말 아무 상관도 없어 보이는 두 값이 이렇게 연결이 되다니;; action이라는 것이 도대체 무엇이길래..