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현대 집합론 체계와 수의 정의 - 목차 [catlist tags="집합론-시리즈" class=nomarker date=yes order=asc] 집합론은 수학의 가장 밑바닥에 깔려 있는 학문으로, 집합의 정의와 성질, 그리고 이를 바탕으로 한 수의 정의와 성질들에 대해 다룬다. 너무 자연스럽게 사용하는, 어떻게 보면 정말 '뻔하다' 싶은 내용을 근본부터 체계화시킨다. 그만큼 물리학과 같은 타 응용 학문에는 거의(or 전혀) 쓸모가 없다(..) 그래도 어느정도 관심이 있어(알레프 뭐시기 같은 것을 배워보고 싶기도 하고) 이번 학기에 집합론과 수리논리 수업을 듣고 있는데 꽤 흥미롭다. 집합론이 본격적으로 체계화되기 이전 수학자들과 수리논리학자들은 다음과 같은 사실을 당연하게 받아들이고 있었다. 이는 칸토어의 Intuitive set theory 에 포함된다. x에 의존하는 어떤 명제 p(x)에 대해 p(x)가 참이 되게 하는 x들의 집합은 존재한다. 예를 들면 이런 거다. 'x는 자연수이면서 3보다 크다'를 만족하는 x들의 집합은 존재한다. → {4, 5, 6, ...} 'x는 대한민국의 시민권자이다.'를 만족하는 x들의 집합은 존재한다. → {나, 과 친구 A군, 과의 L 교수님, 박근혜, 문재인, 이명박...} 'x는 0보다 작은 자연수이다'를 만족하는 x들의 집합은 존재한다. → {} 정말 생각할 필요도 없어 보인다. 이러니 아무도 의심할 생각을 하지 않았던 것이 당연하다. 프레게와 같은 철학자는 이러한 생각을 바탕으로 논리학과 수리철학, 언어철학을 발전시킨 것이다.[2. 현대철학 수업을 들으면서 프레게의 생각에 많이 감탄했었다. 그런데 그의 생각이 현대 집합론과 양립하려면 많은 수정이 필요할 것 같다.] 그런데 그러던 도중 위대한 수학자 겸 철학자 버트런드 러셀이 그 유명한 러셀의 역설 이라는 놈을 발견했다. 러셀의 역설 러셀의 역설은 다음과 같이 주어진다. 자기 자신을 포함하지 않...